ANNEAUX, CORPS, RÉSULTANTS: ALGÈBRE POUR L3/M1/AGRÉGATION

Les aspects constructifs de la théorie des anneaux et des corps y sontillustrés à travers de nombreux exemples et applications. Le problème de la factorisation des polynômes sur différents anneaux ou corps sertde fil rouge tout au long du livre. La théorie des corps est présentéesans la correspondance de Galois afin de rendre le contenu plus accessible et indépendant de la théorie des groupes. Les corps finis sont traités en détail avec des applications en cryptographie et aux codes correcteurs d'erreurs. Le dernier chapitre, plus exigeant que lereste du livre, introduit la théorie de l'élimination à l'aide du résultant et ouvre la porte à de nombreuses applications. Les thèmes abordés sont: anneaux principaux, anneaux euclidiens, anneaux factoriels, factorisation de polynômes, tests d'irréductibilité, extensions de corps, clôtures algébriques, corps finis, codes correcteurs d'erreurs, résultant de deux polynômes et application à l'élimination. Au sommaire: 1. Anneaux, morphismes et idéaux; 2. Séries formelles, anneaux des polynômes; 3. Localisation, corps des fractions; 4. Anneaux principaux; 5. Théorème chinois; 6. Anneaux factoriels; 7. Polynômes sur un anneau factoriel; 8. Factorisation et racines de polynômes; 9. Extensions de corps; 10. Clôture algébrique, extensions séparables; 11. Racines de l'unité, corps finis; 12. Codes correcteurs d'erreurs; 13. Résultants; 14. Corrigés de certains exercices.