LES NOMBRES PREMIERS, ENTRE L'ORDRE ET LE CHAOS

Quoi de plus fascinant que les nombres premiers? Depuis la plus haute Antiquité, leur suite infinie passionne mathématiciens, philosophes et profanes: régulière puisqu'arithmétique, et cependant d'allure chaotique et aléatoire, elle constitue une intarissable source de défis pour l'esprit humain. La recherche est plus active que jamais dans ce domaine de la théorie des nombres: en témoignent de récentes et prestigieuses découvertes, comme la spectaculaire avancée sur le problème millénaire des nombres premiers jumeaux. Cette nouvelle édition actualisée invite le lecteur à une promenade initiatique autour du problème de la répartition des nombres premiers parmi les nombres entiers. Historique et méthodologique, ce texte constitue une concise mais solide introduction aux techniques actuelles de la théorie analytique des nombres premiers. Au sommaire: Chapitre 1: La genèse: d'Euclide à Tchébychev: Introduction; Une brève histoire de ce qui va suivre; Décomposition canonique; 4. Congruences; 5. Intermezzo cryptographique: systèmes à clefs publiques; 6. Résidus quadratiques; 7. Retour sur l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers; 8. Le crible d'Ératosthène; 9. Les théorèmes de Tchébychev; 10. Les théorèmes de Mertens; 11. Le crible de Brun et le problème des nombres premiers jumeaux. Chapitre 2: La fonction zêta de Riemann: 1. Introduction; 2. Une brève histoire de ce qui va suivre; 3. Produit eulérien; 4. Prolongement analytique; 5. La droite Sigma = 1 et le théorème des nombres premiers; 6. L'hypothèse de Riemann; 7. Conséquences arithmétiques des renseignements sur les zéros. Chapitre 3: Répartition stochastique des nombres premiers: 1. Introduction; 2. Une brève histoire de ce qui va suivre; 3. Progressions arithmétiques; 4. Le théorème de Green et Tao; 5. Le modèle de Cramér; 6. Le théorème de Goldston, Pintz et Yildirim; 7. Le théorème de Zhang; 8. Équirépartition modulo un; 9. Vision géométrique. Chapitre 4: Une preuve élémentaire du théorème des nombres premiers: 1. Introduction; 2. Intégration par parties; 3. Convolution des fonctions arithmétiques; 4. La fonction de Möbius; 5. Valeur moyenne de la fonction de Möbius et théorème des nombres premiers; 6. Entiers sans grand ou sans petit facteur premier; 7. La fonction de Dickman; 8. La preuve de Daboussi, revisitée. Chapitre 5: Les grandes conjectures.