PROCESSUS ET INTÉGRALES STOCHASTIQUES (COURS ET EXERCICES CORRIGÉ

Le cours et le livre qui en est dérivé ont un double objectif: - Introduire la théorie des processus stochastiques, d'une part: mesurabilité, martingales, intégrales et équations différentielles stochastiques, calcul d'Ito, construction des processus stochastiques (théorème de Kolmogorov); - Étudier des exemples de processus, d'autre part: processus de Markov, processus de Feller et diffusions (présentées comme solutions des équations différentielles stochastiques), chaîne de Markov, processus de sauts markoviens, processus de Lévy. Ce double contenu permet notamment de souligner la complémentarité entre les équations différentielles stochastiques et les processus de Markov qui en sont les solutions. La diversité des processus étudiés illustre la richesse de la théorie et l'étendue de son champ d'applications. Toutes les démonstrations sont explicitées. De plus certains théorèmes classiques d'analyse (Stone-Weierstrass, représentation des formes linéaires par des intégrales de Riesz, Hahn-Banach, etc.) sont présentés et démontrés dans les compléments car ils sont fréquemment utilisés en théorie des processus stochastiques. Enfin les exercices sont corrigés et font partie intégrale de l'exposé: ils détaillent certaines démonstrations, fournissent les exemples indispensables et abordent les applications. Au sommaire: 1: Mesurabilité et intégration; 2: Transformée de Fourier; 3: Espérance conditionnelle, temps d'arrêt; 4: Martingales à temps discret; 5: Martingales à temps continu; 6: Intégrale de Lebesgue-Stieltjes; 7: Variation des martingales; 8: Intégrale stochastique; 9: Semi-martingales; 10: Équations différentielles stochastiques; 11: Construction des processus stochastiques; 12: Processus de Markov; 13: Processus de Feller; 14: Chaîne de Markov; 15: Processus de sauts markoviens; 16: Processus de Lévy; 17: Modélisation.