PROCESSUS STOCHASTIQUES - COURS ET EXERCICES CORRIGÉS

Ce cours, enseigné à l'Université de Montréal, s'adresse aux étudiants de licence (ou baccalauréat selon les pays) en mathématiques, en génie et en sciences en général, naturelles, économiques ou de gestion, qui veulent approfondir la théorie des probabilités. On y traite principalement de chaînes de Markov qui servent à modéliser les changements d'état aléatoires au cours du temps, discret ou continu, de systèmes à espace d'états fini ou dénombrable qui ont la propriété remarquable d'être sans mémoire. Il y est aussi question de processus de renouvellement qui ne possèdent pas nécessairement cette propriété, et de martingales qui ont la propriété supplémentaire que l'espérance du changement entre deux instants quelconques est nulle. Enfin, on y présente le mouvement brownien qui a été introduit pour décrire le déplacement d'une particule en suspension et qui est utilisé aujourd'hui dans de nombreux domaines. L'emphase est mise sur les exemples, notamment en actuariat avec l'arrivée d'accidents au hasard dans le temps, en biologie avec des modèles de reproduction de populations, en finance avec le cours d'un actif, en théorie des jeux avec le modèle de la ruine du joueur et en recherche opérationnelle avec des files d'attente et des modèles de fiabilité. Les principaux résultats théoriques, dont le fameux théorème ergodique sur le comportement à long terme d'une chaîne de Markov, sont démontrés à la fin des chapitres pour les plus exigeants. Le cours comporte 114 exercices et leurs corrigés détaillés. Au sommaire: 1: Chaînes de Markov à temps discret: Introduction; Exemples; Définitions; Méthode de conditionnement; Processus de branchement; Classification des états; Théorème ergodique et distribution stationnaire; Démonstrations; Annexe; Exercices. 2: Chaînes de Markov à temps continu: Description générale; Chaînes à espace d'états fini; Processus de Poisson; Processus de mort; Processus de naissance et de mort; Distribution stationnaire et théorème ergodique; Démonstrations; Exercices. 3: Processus de renouvellement: Description générale; Théorèmes de renouvellement; Distributions limites; Processus semi-markovien; Moyennes temporelles limites; Démonstrations; Exercices. 4: Introduction aux martingales: Définitions et exemples; Martingale arrêtée; Exercices. 5: Introduction au mouvement brownien: Définitions et exemples; Mouvement brownien géométrique; Exercices. 6: Corrigés des exercices: Corrigés du chapitre 1 à 5.